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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 9a

Determine se os pontos estão alinhados.

  1. A (5,1 , 3) , B (7,9 , - 1) , C (1 , - 15,11)
  2. K (0,3 , - 4) , L (1,2 , - 2) , M (3,0 , 1)

Passo 1

Para sabermos de três pontos estão alinhados, basta checar se dois vetores são proporcionais. Isto é, dado os pontos A , B e C , basta verificar se

vec u = vec A B = B - A prop vec v = vec A C = C - A

Percebam que a forma de obtenção do vetor é bem semelhante ao cálculo da distância entre dois pontos!

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor vec u = vec A B . Portanto,

vec u = vec A B = (7,9 , - 1) - (5,1 , 3) = (2,8 , - 4)

Já para o vetor vec v = vec A C , temos

vec v = vec A C = (1 , - 15,11) - (5,1 , 3) = (- 4 , - 16,8)

Observem agora que os vetores vec u e vec v são proporcionais entre si, pois

vec v = - 2 vec u

Isto é, basta multiplicar cada uma das coordenadas de vec u por - 2 que obtemos o vetor vec v . Desta forma, acabamos de verificar que os três pontos são colineares/estão alinhados!

Resposta

Os três pontos estão alinhados.

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