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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 2

Determine se os pontos P   e   Q estão na superfície dada.

r u , v = 1 + u - v ,   u + v 2 , u 2 - v 2

P 1,2 , 1 , Q ( 2,3 , 3 )

Passo 1

Fala ai galera, o exercício nos pede para determinar se os pontos dados estão na superfície indicada por r ( u , v ) , certo?

Uma maneira de sabermos isso é igualando os valores dos pontos com as coordenadas da superfície.

Então nós iremos fazer isso para os pontos que corresponde a x   e   y . Isso vai nos gerar um sistema de equações simples, que teremos que resolver , beleza?

Show, fazendo isso teremos o valor de u   e   v   . Porém para termos certeza que os pontos pertencem a superfície precisamos fazer mais uma passo.

Iremos igualar agora o valor do ponto que corresponde a z a coordenada da superfície.Isso vai nos dar uma equação.

Lembra de u   e   v que achamos em um passo anterior? Então, iremos substituir esses valores nessa nova equação. Se a sentença for verdadeira, então o ponto está na superfície.

Vamos começar então !!!

Passo 2

Vamos começar por P , sabemos que seu pontos serão : P 1,2 , 1

Podemos dizer que a nossa superfície irá corresponder os pontos da seguinte forma:

→ r u , v = 1 + u - v ,   u + v 2 , u 2 - v 2

1 + u - v = x

u + v 2 = y

u 2 - v 2 = z

logo podemos igualar cada ponto com o valor da superfícies da seguinte forma :

1 + u - v = 1 ( I )

u + v 2 = 2     ( I I )

  u 2 - v 2 = 1     ( I I I )

Beleza, mas vamos lembrar que iremos resolver o sistema apenas para x   e   y nessa primeira parte , ok? Vai ficar assim :

1 + u - v = 1   ( I )

u + v 2 = 2     ( I I )

Vamos começar por ( I ) :  

1 + u - v = 1  

u - v = 1 - 1  

Logo:

u = v

Vamos substituir esse valor na equação ( I I ) :

u + v 2 = 2

u + u 2 = 2

Porém não será necessário achar o valor de u porque ao olharmos para a equação     ( I I I ) podemos observar que não haverá igualdade, quer ver?

Substituindo u = v :

  u 2 - v 2 = 1

u 2 - u 2 = 1

0 = 1

Encontramos um resultado impossível para esse sistema, mostrando assim que P não está na superfície.

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o ponto Q ( 2,3 , 3 )

Já sabemos que :

1 + u - v = x

u + v 2 = y

u 2 - v 2 = z

Agora vamos substituir os valores :

1 + u - v = 2 ( I )

u + v 2 = 3 ( I I )

u 2 - v 2 = 3 ( I I I )

Sendo assim o nosso sistema será:

1 + u - v = 2 ( I )

u + v 2 = 3 ( I I )

Vamos começar por ( I ) :

1 + u - v = 2

u - v = 2 - 1

u = 1   + v

Vamos substituir esse valor na equação ( I I ) :  

u + v 2 = 3

1   + v + v 2 = 3

- 2 + v + v 2 = 0

Podemos resolver por bhaskara :

v = - 1 ± 3 2

v 1 = 1   o u   v = - 2

Sendo assim , vamos substituir na equação ( I ) para :

v 1 = 1   →   u = 2

v 2 = - 2   →   u = - 1

Vamos substituir na equação na equação ( I I I ) :

Para v 1 = 1   →   u 1 = 2 :

u 2 - v 2 = 3

( 2 ) 2 - 1 2 = 3

4 - 1 = 3

Logo:

3 = 3

Opa, já deu uma sentença verdadeira. Então podemos dizer que o ponto Q está na superfície.

Resposta

O ponto P não está na superfície e o ponto Q está na superfície.

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