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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 26

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada

Parte do cilindro x 2 + y 2 = 16 , - 2 ≤ z ≤ 2 llimitado por x = y , y ≥ 0 e x = y 2

Passo 1

Vamos começar determinando as componentes da equação paramétrica.

Temos a função:  

x 2 + y 2 = 16

Esta é a equação de um cilindro de raio a = 4 .

A equação paramétrica é:

r u , v = ( a cos ⁡ u , a sen ⁡ u , v )

As componentes paramétricas desse cilindro são dadas por:

x u , v = a cos ⁡ u ⇒ x ( u , v ) = 4 cos ⁡ u

y u , v = a s en ⁡ u ⇒ y ( u , v ) = 4 sen ⁡ u

z u , v = v

Passo 2

Como z = v , então os limites são:

- 2 ≤ v ≤ 2

Passo 3

Considerando o limite: x = y

x u , v = y u , v

4 cos ⁡ u = 4 sen ⁡ u

1 = tan ⁡ u

u = π 4

Considerando o limite x = y 2

x u , v = y u , v 2

4 cos ⁡ u = 2 sen ⁡ u

2 = tan ⁡ u

u = atan ⁡ 2

Considerando o limite y ≥ 0

y u , v > 0

4 sen ⁡ u > 0

sen ⁡ u > 0

0 < u < π

Observe que o para o cilindro ser limitado pela regiões, os limites serão:

π 6 ≤ u ≤ atan ⁡ 2

Resposta

x u , v = 4 cos ⁡ u

y u , v = 4 sen ⁡ u

z u , v = v

π 6 ≤ u ≤ atan ⁡ 2

- 2 ≤ v ≤ 2

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