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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 24

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada

Parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 acima do plano z = 1 2

Passo 1

x 2 + y 2 + z 2 = 1

É uma esfera de raio a = 1 , centrada na origem

Passo 2

Agora vamos determinar os limites da equação em coordenadas cartesianas. Observamos a equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

O maior valor possível para z é quando x e y é são iguais a zero e z = 1 . Assim, os limites são:

1 2 ≤ z ≤ 1

Passo 3

Agora que possuímos todas as informações necessárias, vamos usar a equação paramétrica da esfera para determinar as componentes:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ v k →

Onde os limites máximos são:   0 ≤ u ≤ 2 π e - π 2 ≤ v ≤ π 2

Aplicando o valor do raio na equação:

r → ( u , v ) = cos ⁡ v cos ⁡ u i → + cos ⁡ v sen ⁡ u j → + sen ⁡ v k →

As componentes são:

x ( u , v ) = cos ⁡ v cos ⁡ u

y ( u , v ) = cos ⁡ v sen ⁡ u

z u , v = sen ⁡ v

Passo 4

Vamos utilizar a equação de z ( u , v ) para definir os limites em relação a v .

Aplicando o limite 1 2 ≤ z ≤ 1

Temos

z u , v = sen ⁡ v ⇒ 1 2 = sen ⁡ v ⇒ v = asen ⁡ 1 2 ⇒ v = π 6

z ( u , v ) = sen ⁡ v ⇒ 1 = sen ⁡ v ⇒ v = asen ⁡ 1 ⇒ v = π 2

Assim, os limites são:

π 6 ≤ v ≤ π 2

Resposta

x ( u , v ) = cos ⁡ v cos ⁡ u

y ( u , v ) = cos ⁡ v sen ⁡ u

z u , v = sen ⁡ v

π 6 ≤ v ≤ π 2

0 ≤ u ≤ 2 π

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