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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 9

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. 2 3 ⋅ x - 1 3
  2. 1 3 ⋅ x - 2 3
  3. - 1 3 ⋅ x - 4 3

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. De uma maneira geral, para funções do tipo potência podemos encontrar sua primitiva geral utilizando a regra

f x = x n → F x = 1 n + 1 ⋅ x n + 1 + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = 2 3 ⋅ x - 1 3 → F x = 2 3 ⋅ x - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 = x 2 3

g x = 1 3 ⋅ x - 2 3 → G x = 1 3 ⋅ x - 2 3 + 1 - 2 3 + 1 = x 1 3

h x = - 1 3 ⋅ x - 4 3 → H x = - 1 3 ⋅ x - 4 3 + 1 - 4 3 + 1 = x - 1 3

Passo 3

Conferindo através da derivada vamos ter

F x = x 2 3 → F ' x = 2 3 ⋅ x 2 3 - 1 = 2 3 ⋅ x - 1 3 = f ( x )

G x = x 1 3   → G ' x = 1 3 ⋅ x 1 3 - 1 = 1 3 ⋅ x 2 3 = g ( x )

H x = x - 1 3   → H ' x =   - 1 3 ⋅ x - 4 3 = h ( x )

Resposta

  1. x 2 3
  2. x 1 3
  3. x - 1 3
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