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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 24

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. x - 1 2 x  
  2. x 2 + 2 x  
  3. π x - x - 1  

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para isso, devemos lembrar que quando temos uma função que é uma soma/subtração de funções podemos pensar nas primitivas de cada uma e juntar tudo em uma primitiva só. Assim, valem as seguintes regras para obter as primitivas

f x = x n → F x = 1 n + 1 ⋅ x n + 1 + C         ( i )

f x = a k x → F x = 1 k ⋅ ln ⁡ a ⋅ a k x + C           ( i i )

f x = 1 x → F x = ln ⁡ x + C     ( i i i )

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = x - 1 2 x → F x = x 1 + 1 1 + 1 - 1 ln ⁡ 1 2 ⋅ 1 2 x = x 2 2 -   1 ln ⁡ 1 2 ⋅ 1 2 x    

g x =   x 2 + 2 x → G x = x 2 + 1 2 + 1 + 1 ln ⁡ 2   ⋅ 2 x = x 3 3 + 2 x ln ⁡ 2  

h x = π x - x - 1 = π x - 1 x   → H x = 1 ln ⁡ π ⋅ π x - ln ⁡ x    

Resposta

  1. x 2 2 -   1 ln ⁡ 1 2 ⋅ 1 2 x  
  2. x 3 3 + 2 x ln ⁡ 2  
  3. 1 ln ⁡ π ⋅ π x - ln ⁡ x  
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