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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 23

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. 2 1 - x 2  
  2. 1 2 ⋅ ( x 2 + 1 )  
  3. 1 1 + 4 x 2  

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções que se apresentam na forma de fração podemos ter as seguintes primitivas

f x = 1 1 - k 2 x 2 → F x = 1 k ⋅ a r c s e n k x + C         ( i )

f x = 1 1 + k 2 x 2 → F x = 1 k ⋅ a r c t a n k x + C           ( i i )

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = 2 1 - x 2 → F x = 2 ⋅ a r c s e n x         d a   e s t r u t u r a   ( i )

g x =   1 2 ⋅ ( x 2 + 1 ) → G x = 1 2 ⋅ arctan ⁡ x       d a   e s t r u t u r a   ( i i )

h x = 1 1 + 4 x 2 = 1 1 + 2 x 2   → H x = 1 2 ⋅ arctan ⁡ 2 x         d a   e s t r u t u r a   ( i i )    

Resposta

  1. 2 ⋅ a r c s e n x
  2. 1 2 ⋅ arctan ⁡ x  
  3. 1 2 ⋅ a r c t a n ⁡ ( 2 x )  
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