Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.

v = f(p, q, r), onde p = p(x, y, z), q = q(x, y, z), r = r(x, y, z)

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa? A questão pede para determinar a Regra da Cadeia para a função composta v = f ( p , q , r ) onde p , q   e   r   são funções de x , y   e   z .

Especificamente, precisamos encontrar as derivadas parciais de v em relação a x , y   e   z .

Para resolver isso, iremos criar o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia e depois usaremos a Regra da Cadeia, considerando as dependências de v em p , q   e   r , e de p , q   e   r em x ,   y   e   z .

Vamos começar! 😉

Passo 2

A função v tem três variáveis, logo uma derivada contém três somas. E cada variável pertencente a v possui mais três variáveis fazendo com que v tenha duas derivadas. De modo que tenhamos o seguinte grafo.

Passo 3

As derivadas possíveis são:

∂ v ∂ x = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ x

∂ v ∂ y = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ y

∂ v ∂ z = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ z

Resposta

∂ v ∂ x = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ x

∂ v ∂ y = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ x + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ y

∂ v ∂ z = ∂ w ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ q ∂ z + ∂ w ∂ p ∂ r ∂ z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados