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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 44

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x

(cinco casas decimais)

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Preparados para resolver um problema de aproximação de integral usando séries?!

Vamos começar analisando a integral fornecida na questão: ∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x

Nosso objetivo é encontrar uma aproximação dessa integral com uma precisão de cinco casas decimais. Para isso, utilizaremos as expansões em série de potências. Primeiro, expressaremos as funções sen ⁡ ( x 3 ) e tg - 1 ⁡ ( x 3 ) em suas respectivas séries. Usaremos a série conhecida de sen ⁡ ( x ) para obter a série de sen ⁡ ( x 3 ) .

Para tg - 1 ⁡ ( x ) , derivaremos e integraremos a série para encontrar sua expressão em série, que ajustaremos para tg - 1 ⁡ ( x 3 ) .

Vamos nessa!

Passo 2

Para calcular a integral, vamos substituir sen ⁡ ( x 3 ) e tg - 1 ⁡ ( x 3 )   por suas respectivas séries, a série só sen ⁡ ( x 3 ) nós conhecemos

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

sen ⁡ ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 3 2 n + 1 !

A da tg - 1 ⁡ ( x 3 ) vamos ter que descobrir, vamos encontrar primeiro a tg - 1 ⁡ ( x ) .

Primeiramente derivando

tg - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2 = 1 1 - ( - x 2 )

tg - 1 ⁡ x ' = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

tg - 1 ⁡ x ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Integrando ambos os lados

∫ tg - 1 ⁡ x ' d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n d x

tg - 1 ⁡ x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Para encontrar a constante, vamos calcular com x = 0

tg - 1 ⁡ 0 = C + 0

C = 0

Logo

tg - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

tg - 1 ⁡ ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 3 2 n + 1

Passo 3

Temos que

sen ⁡ ( x 3 ) + tg - 1 ⁡ ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 3 2 n + 1 ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 3 2 n + 1

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 3 2 n + 1 ! + x 6 n + 3 2 n + 1

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 ! + 1 2 n + 1 x 6 n + 3

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! 2 n + 1 ! x 6 n + 3

Então, na nossa integral

∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x = ∫ 0 0,2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! 2 n + 1 ! x 6 n + 3 d x

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! 2 n + 1 ! x 6 n + 4 6 n + 4 0 0,2

Passo 4

Para achar a estimativa correta dentro da precisão pedida, precisamos expandir a série e acharmos o primeiro termo que seja em módulo < 0,0001 , de modo que não afeta a terceira casa decimal, então

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! 2 n + 1 ! x 6 n + 4 6 n + 4 0 0,2 = x 4 4 - 3 x 10 60 + 25 x 16 1920 - 721 x 22 110880 + … 0 0,2

Como com x = 0 todos os termos zeram, vamos usar somente x = 0,2

= ( 0,2 ) 4 4 - 3 ( 0,2 ) 10 60 + 25 ( 0,2 ) 16 1920 - 721 ( 0,2 ) 22 110880 + …

= ( 0,2 ) 4 4 - 3 ( 0,2 ) 10 60 + 25 ( 0,2 ) 16 1920 - 721 ( 0,2 ) 22 110880 + …

Calculando os valores, o segundo termo é 0,00000000512 então só com os dois primeiros termos já temos uma aproximação com cinco casas de precisão.

∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 0,0004 - 0,00000000512

∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 0,00039

Resposta

∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 0,00039

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