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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.4 - Ex. 4

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Nesse exercício devemos descobrir se o produto vetorial ( a × b ) é ortogonal tanto à a quanto à b , mas o quê quer dizer um vetor ser ortogonal à outro? Para ser ortogonal o ângulo formado entre eles deve ser 90 ° , sabendo isso é correr pro abraço...

Temos a = 0 i + 1 j + 7 k = 0 , 1,7 b = 2 i - 1 j + 4 k = 2 , - 1,4   , agora vamos fazer o produto vetorial:

a × b =   i j k 0 1 7 2 - 1 4 =

= i ∙ 1 ∙ 4 + j ∙ 7 ∙ 2 + k ∙ - 1 ∙ 0 - i ∙ - 1 ∙ 7 + j ∙ 0 ∙ 4 + k ∙ 1 ∙ 2 =

= 4 i + 14 j + 0 k + 7 i + 0 j - 2 k =

= 11 i + 14 j - 2 k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos ⁡ α

a × b ∙ a = 11,14 , - 2 ∙ 0,1 , 7 =

= 11 ∙ 0 + 14 ∙ 1 + ( - 2 ) ∙ 7 = 0

Passo 3

Temos que a × b = 11 2 + 14 2 + ( - 2 ) 2 = 321 a = 0 2 + 1 2 + 7 2 = 50 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 321 ∙ 50 cos ⁡ α 0 →

→ 321 ∙ 50 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = 11,14 , - 2 ∙ 2 , - 1,4 =

= 11 ∙ 2 + 14 ∙ ( - 1 ) + ( - 2 ) ∙ 4 = 0

Passo 5

Temos que a × b = 11 2 + 14 2 + ( - 2 ) 2 = 321 b = 2 2 + ( - 1 ) 2 + 4 2 = 21 ; sabemos que:

a × b ∙ b = 321 ∙ 21 cos ⁡ α 0 →

→ 321 ∙ 21 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

11 i + 14 j - 2 k

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Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que u × v × w está no plano determinado por u e v
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .
Efetuare) 3 i → . ( 2 j → )
Efetuarg) i → . ( j → × i → )
Efetuarc) ( 3 i → ) × ( 2 k → )