Identifique a superfície cuja equação é dada.

2 r 2 + z 2 = 1

Passo 1

E aí, meus amigos! Tudo na paz?

Nesse exercício iremos analisar a equação:

2 r 2 + z 2 = 1

Para identificar a superfície que a equação está descrevendo. Para isso vamos pensar no sistema de coordenas cilíndricas r , θ e z e nas suas equações.

Como o enunciado nos dá a equação em função de r , vamos usar a equação do sistema de coordenadas cilíndricas:

r 2 = x 2 + y 2

Nesse sistema também temos para x e y :

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ  

Daí vamos manipular essa equação do enunciado até acharmos a superfície.

Certo? Então, bora lá!

Passo 2

Assim como em coordenadas polares, em cilíndricas temos que

r 2 = x 2 + y 2

Então, substituindo esse valor na equação dada no enunciado

2 r 2 + z 2 = 1

temos:

2 x 2 + y 2 + z 2 = 1

Manipulando:

2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1

Reescrevendo 2 = 1 1 2 :

x 2 1 / 2 + y 2 1 / 2 + z 2 = 1

E essa é a equação de uma elipsoide centrada na origem.

Resposta

Elipsoide centrada na origem

2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1

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