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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 3

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x , y | 1 ≤ x ≤ 3 ,   1 ≤ y ≤ 4 ; ρ x , y = k y 2

Passo 1

Fala, turma! Tudo show?

A questão quer a massa m e o centro de massa x - ,   y - da lâmina com densidade:

ρ x , y = k y 2

Ocupando a região D , onde:

D = x , y | 1 ≤ x ≤ 3 ,   1 ≤ y ≤ 4

Para encontrar a massa da lâmina aplicamos a integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

E para o centro de massa precisamos achar o valor de:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

E:

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Então, nosso objetivo é calcular essas 3 integrais, primeiro calculando seus limites de integração, que vamos tirar da região D .

Lembrando que:

d A = d x   d y

Vamo lá!

Passo 2

Bem, o enunciado já nos deu os limites de integração para x e y :

| 1 ≤ x ≤ 3

  1 ≤ y ≤ 4

Vamos começar calculando a massa do nosso retângulo. Resolvendo a integral de dentro, temos

m = ∫ 1 3 ∫ 1 4 k y 2 d y d x = ∫ 1 3 k y 3 3 1 4 d x

Aplicando os limites de integração ficamos com:

∫ 1 3 k y 3 3 1 4 d x = ∫ 1 3 64 k - k 3 d x

Rearranjando essa fração:

∫ 1 3 6 3 k 3 d x = ∫ 1 3 21 k d x

Resolvendo nossa integral “de fora” e aplicando os limites de integração:

21 k x 1 3 = 42 k

Então, nossa massa é m = 42 k

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x , temos:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m = ∫ 1 3 ∫ 1 4 k x y 2 d y d x 42 k

Tirando as constantes para fora:

k 42 k ∫ 1 3 ∫ 1 4 x y 2 d y d x = 1 42 ∫ 1 3 ∫ 1 4 x y 2 d y d x

Separando as integrais com sua variável:

1 42 ∫ 1 3 x   d x ∫ 1 4 y 2 d y = 1 42 ⋅ x 2 2 1 3 ⋅ y 3 3 1 4

Aplicando os limites:

1 42 ∫ 1 3 x   d x ∫ 1 4 y 2 d y = 1 42 ⋅ 4 ⋅ 21

Então temos que:

∫ 1 3 ∫ 1 4 k x y 2 d y d x 42 k = 2

Já para a coordenada y , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m = ∫ 1 3 ∫ 1 4 k y 3 d y d x 42 k

Realizando a integral “de dentro” e já aplicando seus limites de integração:

y - = ∫ 1 3 k y 4 4 1 4 d x 42 k = ∫ 1 3 64 k - k 4 d x 42 k

Agora é só resolvermos a integral “de fora”.

y - = ∫ 1 3 255 k 4 d x 42 k = 255 84 = 85 28

Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto 2 , 85 28 .

Resposta

Massa: m = 42 k ;

Centro de massa: 2 , 85 28 .

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