Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 30
Seja e . Verifique as identidades:
Passo 1
Faaaala turma, beleza!?
Foi fornecido:
e
E precisamos verificar as seguintes identidades:
Antes precisamos lembrar o que o divergente, o laplaciano e o gradiente de um vetor fazem.
O operador nabla (que é um vetor de derivadas em ), quando está com produto escalar com um vetor , temos o divergente:
Já o laplaciano de um vetor retorna um vetor, desse jeito:
E por fim, o gradiente de uma função escalar retorna um vetor:
Agora você consegue resolver essa! É só usar esses conceitos!
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar pelo item (a).
Já vimos que o operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor qualquer, temos:
Aplicando isso ao vetor :
Temos:
Assim:
Passo 3
Agora vamos verificar o item .
Vamos definir quem é :
Como eles nos disse que é igual ao modulo de .Podemos escrever como está acima.
Agora podemos aplicar o divergente dessa quantidade:
Agora vou calcular separadamente as derivadas parciais.
Pela regra do produto temos, para a parcial em :
Para a parcial em :
Para a parcial em :
Agora podemos somar todos esses termos:
Podemos juntar os termos semelhantes e os termos com o mesmo denominador:
E podemos simplificar o segundo termo do lado direito:
Mas sabemos que , então:
Passo 4
Vamos para a última demonstração.
Sabendo que , vamos substituir no operador
Então vamos por partes. A primeira derivada parcial de cada componente é:
- Em
- Em
- Em
Agora precisamos derivar novamente, mas olha que legal: já fizemos essa derivada antes, no passo anterior! Sabemos quanto é!
Vou colocar tudo na equação pra podermos ver melhor! Saca só:
Dentro das chaves temos as derivadas que calculamos no passo ! Agora vamos resgatar o valor que encontramos:
Assim: