Seja r → = x   i → + y   j → +   z   k → e r = | r | . Verifique as identidades:

  1. ∇ r = r → / r
  2. ∇ × r → = 0
  3. ∇ 1 r = - r → / r 3
  4. ∇ ln ⁡ r = r → / r 2

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Foi fornecido:

r → = x   i → + y   j → +   z   k → e r = | r |

E precisamos verificar as seguintes identidades:

  1. ∇ r = r → / r
  2. ∇ × r → = 0
  3. ∇ 1 r = - r → / r 3
  4. ∇ ln ⁡ r = r → / r 2

Antes precisamos lembrar o que o divergente, o laplaciano, rotacional e o gradiente de um vetor fazem.

O operador nabla (que é um vetor de derivadas em x ,   y   e   z ), quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) , temos o divergente:

d i v   v → = ∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Já o laplaciano de um vetor retorna um vetor, desse jeito:

∇ 2 v → = ∂ 2 a ∂ x 2 + ∂ 2 a ∂ y 2 + ∂ 2 a ∂ z 2 i → + ∂ 2 b ∂ x 2 + ∂ 2 b ∂ y 2 + ∂ 2 b ∂ z 2 j → + ∂ 2 c ∂ x 2 + ∂ 2 c ∂ y 2 + ∂ 2 c ∂ z 2 k →

O rotacional é escrito como:

r o t   F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c

Aplicando o determinante em, vamos ter:

r o t   F = ∂ c ∂ y - ∂ b ∂ z i ^ + ∂ a ∂ z - ∂ c ∂ x j ^ + ��� b ∂ x - ∂ a ∂ y k ^

E por fim, o gradiente de uma função escalar b retorna um vetor:

∇ b = ∂ b ∂ x i → + ∂ b ∂ y j → + ∂ b ∂ z k →

A partir dessas informações você consegue resolver essa! É só usar esses conceitos!

Bora lá!

Passo 2

Item (a):

∇ r = r → / r

Vamos começar achando o módulo de r → :

r = r = x 2 + y 2 + z 2

Aplicando na relação do gradiente que vimos antes:

∇ b = ∂ b ∂ x i → + ∂ b ∂ y j → + ∂ b ∂ z k →

Onde b é uma função escalar.

Vamos ter:

∇ r = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 i →   ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 j → + ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 k →

Fazendo as derivadas parciais temos:

∇ r = x x 2 + y 2 + z 2 i → + y x 2 + y 2 + z 2 j → + z x 2 + y 2 + z 2 k →

Repare, que no numerador temos as componentes do vetor r → e no denominador temos o módulo de r → , logo podemos escrever:

∇ r = r → r

Passo 3

Item (b):

∇ × r → = 0

Vamos ver agora o que o rotacional faz em um vetor qualquer. Quando está com produto vetorial com um vetor v → ( a , b , c ) , opera assim:

∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c = i → ∂ ∂ y c - ∂ ∂ z b + j → ∂ ∂ z a - ∂ ∂ x c + k → ∂ ∂ x b - ∂ ∂ y a

Agora vamos aplicar isso ao vetor r → :

∇ × r → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y z = i → ∂ ∂ y z - ∂ ∂ z y + j → ∂ ∂ z x - ∂ ∂ x z + k → ∂ ∂ x y - ∂ ∂ y x

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Então, veja que realmente é igual a zero:

∇ × r → = 0 →

Passo 4

Item (c):

∇ 1 r = - r → / r 3

Sabemos que r é:

r = r = x 2 + y 2 + z 2

Logo, temos que:

1 r = 1 x 2 + y 2 + z 2

Aplicando no gradiente, temos:

∇ ( 1 / r ) = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2 i →   ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2 j → + ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2 k →

Fazendo as derivadas parciais e lembrando de que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação, temos:

∇ 1 r = - x x 2 + y 2 + z 2 3 2 i → + - y x 2 + y 2 + z 2 3 2 j → + - z x 2 + y 2 + z 2 3 2 k →

Mas sabemos que:

r = x 2 + y 2 + z 2

Então r 3 = x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 e no numerador temos o negativo do vetor r → , então:

∇ 1 r = - r → / r 3

Passo 5

Item (d):

∇ ln ⁡ r = r → / r 2

Sabemos que r é:

r = r = x 2 + y 2 + z 2

Logo, temos que:

ln ⁡ r = x 2 + y 2 + z 2

Aplicando no gradiente, temos:

∇ ( l n r ) = ∂ ∂ x l n ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 ) i →   ∂ ∂ y l n �� ( x 2 + y 2 + z 2 ) j → + ∂ ∂ z l n ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 ) k →

Fazendo as derivadas parciais, temos:

∇ l n r = 1 x 2 + y 2 + z 2 . x x 2 + y 2 + z 2 i → + 1 x 2 + y 2 + z 2 . y x 2 + y 2 + z 2 j → +

+ 1 x 2 + y 2 + z 2 . z x 2 + y 2 + z 2 k →

∇ l n r = x x 2 + y 2 + z 2 i → + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k →

Repare que temos exatamente o vetor r → dividido por r 2 .

∇ l n r = r → / r 2

Resposta

( a ) ∇ r = r → r

( b ) ∇ × r → = 0 →

( c ) ∇ 1 r = - r → / r 3

( d ) ∇ l n r = r → / r 2

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