Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 31
Seja e . Verifique as identidades:
Passo 1
Oi galera, tudo bem?
Foi fornecido:
e
E precisamos verificar as seguintes identidades:
Antes precisamos lembrar o que o divergente, o laplaciano, rotacional e o gradiente de um vetor fazem.
O operador nabla (que é um vetor de derivadas em ), quando está com produto escalar com um vetor , temos o divergente:
Já o laplaciano de um vetor retorna um vetor, desse jeito:
O rotacional é escrito como:
Aplicando o determinante em, vamos ter:
E por fim, o gradiente de uma função escalar retorna um vetor:
A partir dessas informações você consegue resolver essa! É só usar esses conceitos!
Bora lá!
Passo 2
Item (a):
Vamos começar achando o módulo de :
Aplicando na relação do gradiente que vimos antes:
Onde é uma função escalar.
Vamos ter:
Fazendo as derivadas parciais temos:
Repare, que no numerador temos as componentes do vetor e no denominador temos o módulo de , logo podemos escrever:
Passo 3
Item (b):
Vamos ver agora o que o rotacional faz em um vetor qualquer. Quando está com produto vetorial com um vetor , opera assim:
Agora vamos aplicar isso ao vetor :
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Então, veja que realmente é igual a zero:
Passo 4
Item (c):
Sabemos que r é:
Logo, temos que:
Aplicando no gradiente, temos:
Fazendo as derivadas parciais e lembrando de que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação, temos:
Mas sabemos que:
Então e no numerador temos o negativo do vetor , então:
Passo 5
Item (d):
Sabemos que r é:
Logo, temos que:
Aplicando no gradiente, temos:
Fazendo as derivadas parciais, temos:
Repare que temos exatamente o vetor dividido por