Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 26
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Quanta informação nesse enunciado 😵 Vou organizar de um jeito que fica fácil de entender!
Primeiro, ele dá que é um campo escalar e e são campos vetoriais.
Segundo, ele diz que as derivadas parciais desses campos existem e são contínuas.
Terceiro, ele dá umas operações com esses campos:
Que é a multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial.
Que é o produto escalar entre dois campos vetoriais.
Que é o produto vetorial entre dois campos vetoriais.
Essas informações serão úteis caso alguma dessas operações apareçam na hora da demonstração, aí poderemos usar elas pra resolver esses casos.
Quarto e último, ele quer que demonstremos que
Em palavras, ele quer que demonstremos que o rotacional da multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial
é igual a
Agora tudo fica mais fácil né?
Lembrando que o rotacional de algum vetor é o produto vetorial entre e o vetor!
E que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Então, para fazermos essa demonstração vamos pegar o rotacional da multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial
E tentar chegar em
Poderíamos fazer o inverso também, mas é mais complicado e normalmente as questões querem que a gente use o termo da esquerda para chegar no da direita.
Ok? Bora lá?
Passo 2
Primeiro, dentro do rotacional temos uma multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial
Vamos supor que o campo vetorial é dessa forma aqui ó:
Agora, precisamos saber quem é . Sendo uma função escalar. Lembra dessa informação do enunciado?
Ela basicamente diz que a função escalar multiplica cada componente de :
Muito bem! Já temos , vamos para o próximo passo!
Passo 3
Agora vamos fazer
Que é aplicar essa operação
Então, temos
Lembrando da regra do produto
Vamos abrir essas derivadas todas, lembrando que tanto quanto são funções não constantes.
Para :
Para :
Para :
Parece horrível, mas vamos organizar cada componente. Agregando o termo de cada componente e também o fica mais claro, saca só:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Note o seguinte, na primeira coluna, se colocarmos em evidência
E compararmos com
Vamos ver que ele representa o valor de
Já a segunda coluna,
Se lembrarmos que o gradiente de uma função escalar é
Não parece um produto vetorial que envolve e ? Desse jeito:
Esse aqui é bem difícil de ver, não se preocupa 😅
Então podemos afirmar que
Assim juntando os dois resultados temos:
Que é a mesma coisa que
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar 😃
Resposta
A resposta é a demonstração que foi feita ao longo dos passos.