Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 23
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Quanta informação nesse enunciado 😵 Vou organizar de um jeito que fica fácil de entender!
Primeiro, ele dá que é um campo escalar e e são campos vetoriais.
Segundo, ele diz que as derivadas parciais desses campos existem e são contínuas.
Terceiro, ele dá umas operações com esses campos:
Que é a multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial.
Que é o produto escalar entre dois campos vetoriais.
Que é o produto vetorial entre dois campos vetoriais.
Essas informações serão úteis caso alguma dessas operações apareçam na hora da demonstração, aí poderemos usar elas pra resolver esses casos.
Quarto e último, ele quer que demonstremos que
Em palavras, ele quer que demonstremos que o divergente da soma
é igual à soma dos divergentes
Agora tudo fica mais claro né?
Lembrando que o divergente de algum vetor é o produto escalar entre e o vetor!
E que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Então, para fazermos essa demonstração, vamos pegar o divergente da soma
E tentar chegar no outro lado da igualdade!
Poderíamos fazer o inverso também, mas é mais complicado e normalmente as questões querem que a gente use o termo da esquerda para chegar no da direita.
Ok? Bora lá?
Passo 2
Primeiro, dentro do divergente temos uma soma de vetores
Vamos supor que os campos vetoriais e são dessa forma aqui ó:
Ok?
Somando os vetores e lembrando que essa soma é componente a componente:
Temos então os nossos vetores somados!
Passo 3
Agora vamos aplicar o divergente neles. Temos
Aplicando
Que é a mesma coisa que
Realizando esse produto escalar
Como a derivada da soma é a soma das derivadas, podemos separar todos esses parênteses:
Lindo! Ou nem tanto 😒 Vamos arrumar para deixar os ’s e ’s todos um do lado do outro.
Tudo show?
Passo 4
Agora perceba,
Vamos realizar o produto escalar dessa equação
Consegue ver alguma semelhança com esse aqui?
Os três primeiros termos do lado direito não se parecem justamente com o divergente do vetor ?
E os três últimos termos do lado direito não são os termos do divergente de ?
SIM! Exatamente, eles mesmos. Então podemos reescrever na forma do operador :
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar 😁
Resposta
A demonstração foi feita ao longo dos passos.