Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 ) i ^ + ( 2 x y z ) j ^ + ( x y 2 + 2 x 2 z ) k ^ C : x = t ,y = t + 1 ,z = t 2 ,0 ≤ t ≤ 1

Enunciado

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos começar!!

Vamos resolver o item (b) nesse exercício.

O item (b), devemos usar o item (a) e calcular a seguinte integral de linha sobre a curva C:

Onde é:

E a curva C é a seguinte parametrização:

Tá, e agora? Vamos pensar!!!

Nessa questão podemos usar o teorema das integrais de linha, que nos diz o seguinte:

Seja uma curva definida por e uma função diferenciável de tal maneira que o gradiente de é contínua em todos os pontos de .

Podemos aplicar:

Lá na letra (a), nós encontramos a função:

E repare que ele nos deu no enunciado uma parametrização, então precisamos substituir na função acima e depois aplicar e . Sendo que:

Agora é só aplicarmos no teorema das integrais de linha.

Vamos nessa!!!

Vamos resolver o item (b).

Pessoal, nessa questão podemos usar o teorema das integrais de linha como já mencionamos. Desse modo temos:

Lá na letra (a), nós encontramos a função .

Podemos escrever como:

Como o valor de varia de a , é so aplicarmos na equação acima. Fazendo isso, vamos ter:

Assim, aplicando o teorema:

Aplicando em:

Vamos ter:

Logo, simplificando obtemos como resposta:

(b)