Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 8
Determine se é um campo vetorial conservativo ou não. Se for, encontre a função tal que .
Passo 1
Pessoal, um campo vetorial da forma é dito conservativo se e somente se a relação abaixo for verdadeira:
Nos foi dado o seguinte campo vetorial
onde e . Calculando as derivadas parciais de cada um, temos:
Como a relação foi atendida, logo, temos um campo conservativo.
Passo 2
Agora precisamos achar a função de tal maneira que . Por definição,
Portanto, como e . Integrando dos dois lados da equação , temos:
Agora, derivando parcialmente em relação a , temos:
Já que temos duas expressões para , vamos igualá-las!
Assim, fazendo , temos como expressão para :
Resposta
O campo é conservativo e a função é igual a:
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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. d )F → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 2 i → + y x 2 + y 2 + z 2 2 j → + z x 2 + y 2 + z 2 2 k →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. b )F → x , y = y i → + x j →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. c )F → x , y , z = x - y i → + x + y + z j → + z 2 k →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. F → x , y , z , w = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇