Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 8
Determine se é um campo vetorial conservativo ou não. Se for, encontre a função tal que .
Passo 1
Pessoal, um campo vetorial da forma é dito conservativo se e somente se a relação abaixo for verdadeira:
Nos foi dado o seguinte campo vetorial
onde e . Calculando as derivadas parciais de cada um, temos:
Como a relação foi atendida, logo, temos um campo conservativo.
Passo 2
Agora precisamos achar a função de tal maneira que . Por definição,
Portanto, como e . Integrando dos dois lados da equação , temos:
Agora, derivando parcialmente em relação a , temos:
Já que temos duas expressões para , vamos igualá-las!
Assim, fazendo , temos como expressão para :
Resposta
O campo é conservativo e a função é igual a:
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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.b ) vec F (x , y) = y vec i + x vec j
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.c ) vec F (x , y , z) = (x - y) vec i + (x + y + z) vec j + z^2 vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.vec F (x , y , z , w) = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇