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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.5 - Ex. 05

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

Passo 1

Falaa, tudo certo?

Nessa questão, temos um campo vetorial:

F → x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

E precisamos achar o rotacional e o divergente.

Sendo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , calculamos:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

No nosso caso:

P = x x 2 + y 2 + z 2

Q = y x 2 + y 2 + z 2

R = z x 2 + y 2 + z 2

Então vamos calcular as derivadas parciais, e aplicar na fórmula do rotacional – depois fazemos o mesmo pro divergente.

Como vamos calcular muitas derivadas parecidas, vamos antes de tudo ver como que elas vão ficar mais ou menos... lembrando que quando derivamos em função de uma variável, as outras são consideradas constantes.

Passo 2

Teremos muitas derivadas desse tipo ( a é uma constante):

a x 2 + y 2 + z 2 = a ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2

Usando a regra da cadeia:

∂ ∂ x a x 2 + y 2 + z 2 = ∂ a ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x =

= - a 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ∙ 2 x

Então:

∂ ∂ x a x 2 + y 2 + z 2 = - a x x 2 + y 2 + z 2 3 2

E de forma equivalente:

∂ ∂ y a x 2 + y 2 + z 2 = - a y x 2 + y 2 + z 2 3 2

E

∂ ∂ z a x 2 + y 2 + z 2 = - a z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 3

(a)

Bom, vamos começar a ver as derivadas pro rotacional.

A primeira coordenada é:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y . Como z é constante:

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y z x 2 + y 2 + z 2 = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Derivando Q em função de z . Como y é constante:

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z y x 2 + y 2 + z 2 = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Como as duas derivadas deram iguais:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = 0

Passo 4

A segunda coordenada:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z . Como x é constante:

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 = - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Derivando R em função de x . Como z é constante:

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x z x 2 + y 2 + z 2 = - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Então:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = 0

Passo 5

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x . Como y é constante:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x y x 2 + y 2 + z 2 = - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2

Derivando P em função de y . Como x é constante:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x x 2 + y 2 + z 2 = - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2

E de novo:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Passo 6

Voltando pro rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

= 0   i ^ + 0   j ^ + 0   k ^

Então:

rot ⁡ F → = 0 →

Passo 7

(b)

Agora vamos pro divergente.

Derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 = ∂ ∂ x x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 =

Vamos usar a regra do produto:

= ∂ x ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 + x ∙ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 =

E a regra da cadeia:

= 1 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 + x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x =

Calculando as derivadas:

= x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 + x ∙ - 1 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ∙ 2 x =

= x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 - x 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 =

Reescrevendo:

= 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 =

Multiplicando a primeira fração por x 2 + y 2 + z 2 , pra igualar os denominadores:

= x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 =

= x 2 + y 2 + z 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 =

Então:

∂ P ∂ x = y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 8

Percebe que as duas outras derivadas são da mesma forma dessa:

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y y x 2 + y 2 + z 2

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z z x 2 + y 2 + z 2

E elas vão ficar:

∂ Q ∂ y = x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ R ∂ z = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 9

O divergente, então, fica:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 =

Juntando as três frações:

= 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 =

= 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 =

Simplificando, chegando no resultado:

= 2 x 2 + y 2 + z 2 1 2

div ⁡ F → = 2 x 2 + y 2 + z 2

Resposta

rot ⁡ F → = 0 →

div ⁡ F → = 2 x 2 + y 2 + z 2

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