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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 8

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y , z = x y , y z , z x  

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão, temos que calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial:

F → x , y , z = x y , y z , z x

Pra um campo F → = P , Q , R , calculamos:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

No nosso caso, temos:

P = x / y

Q = y / z

R = z / x

Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais, e substituir primeiro na fórmula do rotacional, depois fazer o mesmo pro divergente.

Passo 2

(a)

Vamos calcular o rotacional.

A primeira coordenada:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , com x , z constantes:

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y z x = 0

Derivando Q em função de z , com x , y constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z y z = - y z 2

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = y z 2

Passo 3

A coordenada j ^ :

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z , com x , y constantes:

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z x y = 0

Derivando R em função de x , com y , z constantes:

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x z x = - z x 2

E aí:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = z x 2

Passo 4

E a última coordenada do rotacional:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x , com y , z constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x y z = 0

Derivando P em função de y , com x , z constantes:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x y = - x y 2

Daí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = x y 2

Passo 5

Voltando pra fórmula do rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = y z 2   i ^ + z x 2   j ^ + x y 2   k ^

Passo 6

(b)

Agora vamos ver o divergente.

Derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x x y = 1 y

Derivando Q em função de y , com x , z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y y z = 1 z

Derivando R em função de z , com x , y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z z x = 1 x

Passo 7

Aplicando a fórmula do divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

div ⁡ F → = 1 x + 1 y + 1 z

Resposta

rot ⁡ F → = y z 2   i ^ + z x 2   j ^ + x y 2   k ^

div ⁡ F → = 1 x + 1 y + 1 z

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