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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 7

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F → x , y = e x sen ⁡ y , e y sen ⁡ z , e z sen ⁡ x

Passo 1

Oii, galera, beleza?

Esse exercício pede pra gente achar o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Vamos lembrar que pra um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o rotacional é:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

E o divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Nosso campo é:

F → x , y = e x sen ⁡ y , e y sen ⁡ z , e z sen ⁡ x

Daí, temos:

P = e x sen ⁡ y

Q = e y sen ⁡ z

R = e z sen ⁡ x

Então vamos calcular essas derivadas parciais, e substituir na fórmula pra achar o rotacional. Depois, vamos fazer a mesma coisa pro divergente.

Passo 2

(a)

Começando pelo rotacional.

Pra primeira coordenada:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , considerando x e z como constantes:

∂ R ∂ y = ∂ e z sen ⁡ x ∂ y = 0

Derivando Q em função de z , considerando x e y como constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ e y sen ⁡ z ∂ z = e y cos ⁡ z

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = - e y cos ⁡ z

Passo 3

A coordenada j ^ :

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z , considerando x e y como constantes:

∂ P ∂ z = ∂ e x sen ⁡ y ∂ z = 0

Derivando R em função de x , considerando y e z como constantes:

∂ R ∂ x = ∂ e z sen ⁡ x ∂ x = e z cos ⁡ x

E aí:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = - e z cos ⁡ x

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x , considerando y e z como constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ e y sen ⁡ z ∂ x = 0

Derivando P em função de y , considerando x e z como constantes:

∂ P ∂ y = ∂ e x sen ⁡ y ∂ y = e x cos ⁡ y

Daí,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - e x cos ⁡ y

Passo 5

Voltando pro rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = - e y cos ⁡ z i ^ - e z cos ⁡ x j ^ - e x cos ⁡ y k ^

Passo 6

(b)

Agora falta o divergente.

Primeiro, derivando P em função de x , considerando y e z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ e x sen ⁡ y ∂ x = e x sen ⁡ y

Depois, derivamos Q em função de y , com x , z constante:

∂ Q ∂ y = ∂ e y sen ⁡ z ∂ y = e y sen ⁡ z

Por último, derivando R em função de z , tendo x e y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ e z sen ⁡ x ∂ z = e z sen ⁡ x

Passo 7

Então, o divergente é:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

div ⁡ F → = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z + e z sen ⁡ x

Resposta

rot ⁡ F → = - e y cos ⁡ z i ^ - e z cos ⁡ x j ^ - e x cos ⁡ y k ^

div ⁡ F → = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z + e z sen ⁡ x

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