Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 7

7. Sejam e funções com derivadas parciais continuas no plano xy tais que

Em R² exceto nos pontos . Indique por as circunferenciais de equações

Respectivamente, orientadas no sentido anti – horário. Sabendo que

Calcule

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

Outra forma de enxergar seria

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Outra forma de enxergar esse teorema é dizer que

O trabalho ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa dentro da região limitada por essa borda. Então quando dizemos

Queremos dizer que não há fluxo que atravessa a região. O diferencial dessa questão é que ela põe exceções – “exceto nos pontos ”. Isso quer dizer que existe fluxo atravessando por esses 3 pontos. Então temos que observar a geometria do nosso sistema