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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 6b

6. Mostre que as integrais

∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y

São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1   ,   F 2 , onde

b.

F 1 x , y = y x 2 + y 2

F 2 x , y = - x x 2 + y 2

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Nesta questão temos

F 1 x , y = y x 2 + y 2

F 2 x , y = - x x 2 + y 2

E temos que provar que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Entao bora calcular as derivadas parciais

∂ F 1 ∂ y = x 2 + y 2 - y 2 y x 2 + y 2 2

∂ F 2 ∂ x = - x 2 + y 2 + x 2 x x 2 + y 2 2  

Logo

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - x 2 + y 2 + x 2 x - x 2 + y 2 + y 2 y x 2 + y 2 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 2 x 2 + y 2 + 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 xi + yj + zk
b) Calcule int_C (2 x y^3 - y^2 cos x) d x + (1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2) d y , onde C é o arco da parábola 2 x = pi y^2 , de P_1 = (0,0) até P_2 = ((pi)/(2) , 1) .
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . b) Calcule o valor da integral de A = 0,0 a B = 1,1 para o valor de k encontrado em a).
Caso exista encontre uma função potencial para V (x , y) = (2 x y^3 - y^2 cos x , 1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2) .
Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valoresa) ∫ 1 , - 2 3,4 y d x - x d y x 2