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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 5

5. Encontre todos os possíveis valores de

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2

Onde C é uma curva fechada qualquer que não passa pela origem

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Nesta questão temos

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2

E temos que mostrar que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Vamos derivar então

∂ F 2 ∂ x = - x 2 + y 2 - y - x 2 x x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = x 2 + y 2 - y + x 2 y x 2 + y 2 2

Entao temos que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

- x 2 + y 2 - y - x 2 x x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 - y + x 2 y x 2 + y 2 2 = 0

Então se estivermos no mundo cartesiano todo resultado possível é

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2 = 0

Passo 4

Agora e se estiver no mundo das coordenadas polares? Ou seja, e se nosso caminho for um círculo? Podemos parametrizar então nossa função

x = r cos ⁡ θ

d x = - r sen ⁡ θ d θ  

y = r sen ⁡ θ  

d y = r cos ⁡ θ d θ

Então nossa integração fica

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2

∫ c r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ - r sen ⁡ θ d θ + r sen ⁡ θ - r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ r ²  

∫ c - cos 2 ⁡ θ   + sen 2 ⁡ θ d θ

∫ c - 1 d θ

E se estamos num círculo fechado logo nosso intervalo de integração é

∫ 0 2 π - 1 d θ

= - 2 π

Então esse é mais um resultado possível. Caso orientemos o círculo no sentido contrário obteríamos

= 2 π

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

0 ,   2 π   , -   2 π

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8. Sejam F 1 ( x , y ) e F 2 x , y funções reais de classe C 1 em U = R 2 - A , B (A e B como na figura 6.18) tais que ∂ F 1 ∂ y= ∂ F 2 ∂ x Em U. Sendo C 1 ,C 2 , C 3 as curvas dadas na figura 6.18. C
9. Seja D a região do plano xy limitada pelas circunferências C 1 e C 2 de equações x 2 + y 2 = 1 E x 2 + y 2 = 25 Respectivamente. Se F 1 x , y e F 2 x , y são de classe C 1 em D e ∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1
10. Calcule ∮ c - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y Onde C é a curva definida por y 2 = 2x + 2 - 2 ≤ x ≤ 2 orientada no sentido descrente de y
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . a ) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho. b ) Calcule o valor da integral de A = 0 ,0 a B =
Calcule ∮ C y x 2 d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde C é a curva dada pela equação x 2 4 + y - 1 3 2 = 1 , percorrida no sentido anti-horário.