5. Encontre todos os possíveis valores de

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2

Onde C é uma curva fechada qualquer que não passa pela origem

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Nesta questão temos

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2

E temos que mostrar que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Vamos derivar então

∂ F 2 ∂ x = - x 2 + y 2 - y - x 2 x x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = x 2 + y 2 - y + x 2 y x 2 + y 2 2

Entao temos que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

- x 2 + y 2 - y - x 2 x x 2 + y 2 2 - x 2 + y 2 - y + x 2 y x 2 + y 2 2 = 0

Então se estivermos no mundo cartesiano todo resultado possível é

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2 = 0

Passo 4

Agora e se estiver no mundo das coordenadas polares? Ou seja, e se nosso caminho for um círculo? Podemos parametrizar então nossa função

x = r cos ⁡ θ

d x = - r sen ⁡ θ d θ  

y = r sen ⁡ θ  

d y = r cos ⁡ θ d θ

Então nossa integração fica

∫ c x + y d x + y - x d y x 2 + y 2

∫ c r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ - r sen ⁡ θ d θ + r sen ⁡ θ - r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ r ²  

∫ c - cos 2 ⁡ θ   + sen 2 ⁡ θ d θ

∫ c - 1 d θ

E se estamos num círculo fechado logo nosso intervalo de integração é

∫ 0 2 π - 1 d θ

= - 2 π

Então esse é mais um resultado possível. Caso orientemos o círculo no sentido contrário obteríamos

= 2 π

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

0 ,   2 π   , -   2 π

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