Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 32
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Faaaaaala pessoal, tudo na paz? Vamos analisar essa questão.
Temos que calcular a integral dupla iterada abaixo em coordenadas polares. Integral iterada é uma integral que possui limites de integração para aplicar.
Vish, como fazemos essa? Vamos pensar juntos, ok!?
Em coordenadas polares, temos que:
Sabendo disso, precisamos substituir na integral dada esses valores.
E lembre-se que sempre começamos a integrar de dentro para fora.
Logo, observe que a primeira integração é em , e observe que o limite de varia entre:
Já o limite de x, varia entre:
Vamos precisar disso, para conhecer nossa região de integração e também para converter para coordenadas polares.
Agora, é só montar a integral e começar a integrar.
Partiu resolver então!? Bora colocar mão na massa!!!
Passo 2
Observando os limites de integração sabemos que a região de integração é:
Em coordenadas polares, temos que:
Vamos reescrever a região de integração:
Sabemos que , logo substituindo em:
Vamos ter:
Temos também que:
Onde será a região delimitada por:
Passo 3
Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, sabemos que:
Em cordenadas polares:
Onde,
Logo, temos:
Agora precisamos integrar. Mas lembre-se que começamos de dentro para fora.
Integrando em :
Vamos ter:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Passo 4
Ficamos com uma integral simples em
Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração, vamos ter:
Portanto a nossa integral vale: