Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y) = ln(2y + 3z) + i^ + ln(x + 3z) + j^ + ln(x + 2y) + k^

Passo 1

Oi, galera, tudo certo?

Essa questão pede pra calcularmos o divergente de um campo vetorial:

F → x , y = ln ⁡ 2 y + 3 z   i ^ + ln ⁡ x + 3 z j ^ + ln ⁡ x + 2 y   k ^

Dado um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o divergente é calculado assim:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Pro nosso campo, temos:

P = ln ⁡ 2 y + 3 z

Q = ln ⁡ x + 3 z

R = ln ⁡ x + 2 y

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais, e depois somar pra achar o divergente.

Passo 2

Primeiro derivamos P em função de x , com y e z constantes:

�� P ∂ x = ∂ ln ⁡ 2 y + 3 z ∂ x = 0

Agora derivando Q em função de y , com x e z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ ln ⁡ x + 3 z ∂ y = 0

E por último, derivamos R em função de z , com x e y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ ln ⁡ x + 2 y ∂ z = 0

Passo 3

Como as três derivadas deram zero, temos:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

div ⁡ F → = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

div ⁡ F → = 0

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