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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 2

2 - A base do sólido é a região no primeiro quadrante entre a reta y   =   x e a parábola y   =   2   x . As seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros cujas bases se estendem da reta até a curva.

Passo 1

Primeiramente descobrir a função:

A x = 1 2 l a d o 2 s e n π 3 = 1 2 2 x - x 2 3 2

A x = 3 4 4 x - 4 x x + x 2

Para descobrir os limites de integração fazemos:

3 4 4 x - 4 x x + x 2 = 0

Temos: a = 0 ,   b = 4

Calculando volume temos:

V =   ∫ 0 4 A x d x = ∫ 0 4 3 4 4 x - 4 x x + x 2 d x = 3 4 ∫ 0 4 x - 4 x x + x 2   d x

V = 3 4 ∫ 0 4 x   d x - 4 ∫ 0 4 x x   d x + ∫ 0 4 x 2   d x = 3 4 ∫ 0 4 x   d x - 4 ∫ 0 4 x ⋅ x 1 2 d x + ∫ 0 4 x 2   d x

V = 3 4 x 2 2 0 4 - 4 ∫ 0 4 x 3 2 d x + x 3 3 0 4

V = 3 4 x 2 2 + x 3 3 0 3 - 4 x 3 2 + 1 3 2 + 1 0 4   = 3 4 x 2 2 + x 3 3 0 4 - 4 x 5 2 5 2 0 4 = 3 4 x 2 2 + x 3 5 0 4 - 4 2 x 5 2 5 0 4

V = 3 4 x 2 2 + x 3 3 - 8 x 5 5 0 4 = 3 4 x 2 2 + x 3 3 - 8 x 2 x 5 0 4

Passo 2

Realizando os limites de integração:

V = 3 4 4 2 2 + 4 3 3 - 8 ⋅ 4 2 4 5 - 0 = 3 4 16 2 + 64 3 - 128 ⋅ 2 5 = 3 4 8 + 64 3 - 256 5

3 4 32 15 = 32 3 60 = 8 3 15 u . v .

Resposta

8 3 15 u . v .

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