Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 74

Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?

Passo 1

Hey, pessoal! Tudo de boa?

Galerinha, uma função é dita monotônica se e somente se manter o mesmo sinal para todo . Além disso, a função pode ser crescente se para todo e pode ser decrescente se para todo .

Caso a função não seja nem crescente, nem decrescente nós chamamos de sequência não monotônica, como é o caso de sequências cujos valores oscilam.

Vamos ver o nosso caso aqui.

Para perceber o comportamento da nossa sequência podemos calcular seus primeiros termos. Depois, para achar se a sequência é limitada precisamos entender se ela tem limite superior e inferior. Podemos fazer isso analisando o comportamento da sequência e calculando seu limite.

Passo 2

Calculando os primeiros termos da sequência, temos:

Para , temos:

Para temos:

Nesse caso, a sequência está descrescendo conforme aumenta o valor de . Assim, temos uma função decrescente.

Passo 3

Vamos verificar agora se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!

Aqui vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência do denominador, ou seja, , pois assim a gente fica com termos cujo comportamento é bem mais fácil de analisar quando :

Conforme nosso vai crescendo indefinidamente, nossos termos que dependem de vão tendendo a zero. Aplicando o limite, temos:

Portanto, a sequência é limitada em !

Passo 4

Como nossa sequência é decrescente, o maior valor que ela vai assumir é o de e como acabamos de calcular o limite inferior dela é -1. Como a sequência tem limite superior e inferior, ela é limitada.