Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 119
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
119.
Passo 1
Fala, galera! Para saber se a sequência converge, precisamos verificar se ela é limitada e monotônica. Ou seja, se ela tem limitantes inferior e superior e se ela é crescente ou decrescente.
Vamos começar reescrevendo um pouquinho essa sequência
Passo 2
Para saber se a função é limitada, vamos notar que
e que
As duas desigualdades têm o mesmo limite superior, mas o inferior é diferente. Quando multiplicamos qualquer número por zero, o resultado também é zero. Então, zero é o menor valor que pode assumir e é o maior:
Então, a sequência é limitada.
Passo 3
Por último, vamos testar a monotonicidade. Para isso, vamos escrever
e
Agora, tomamos a diferença entre e :
Para par, temos a seguinte relação:
Para ímpar, temos a seguinte relação:
Então, temos que
, para par
, para ímpar
Assim, vemos que ora a sequência é crescente, ora ela é decrescente. Como não segue um padrão de crescimento ou decrescimento, então ela não é monotônica. Esse é um bom exemplo de uma sequência que diverge mesmo sendo limitada.
E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!
Resposta
Diverge.