Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 123

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

123. a n =   4 n   +   1   +   3 n 4 n

Passo 1

Fala, pessoal! Bora lá para mais uma questão?

Para descobrir se a sequência converge, temos que testar se ela é limitada e monotônica. Se ela for limitada inferiormente e superiormente, então ela é limitada. Se ela for crescente ou decrescente, então é monotônica. Então, temos que fazer esses dois testes. Antes de começar, vamos simplificar a expressão da sequência

a n = 4 n   +   1   +   3 n 4 n = 4 + 3 4 n

Passo 2

Agora podemos testar se a sequência é limitada. Acompanha aqui o raciocínio:

0 < 3 4 < 1

Como toda potência de algum número menor que 1 é também menor que 1 , temos

0 < 3 4 n < 1

Somando 4 na desigualdade, ficamos com

4 < 4 + 3 4 n < 5

4 < a n < 5

A sequência é limitada “por cima” e “por baixo”. Então, ela é limitada.

Passo 3

Falta testar a monotonicidade. Para isso, vamos escrever

a n = 4 + 3 4 n

e

a n + 1   = 4 + 3 4 n   +   1   =   4 + 3 4 3 4 n  

Agora, tomamos a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n =   4 + 3 4 3 4 n - 4 + 3 4 n   = 3 4 3 4 n - 3 4 n  

⇒ a n + 1 - a n =   3 4 - 1 3 4 n  

⇒ a n + 1 - a n =   - 1 4 3 4 n   < 0

Então, temos que

a n + 1 - a n < 0  

⇒ a n + 1 <   a n  

Assim, podemos concluir que a sequência é decrescente. Logo, é monotônica. Como ela também é limitada, então converge.

Resposta

Converge.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam a e b números positivos com ab . Seja a 1 sua média aritmética e b 1 sua média geométrica: a 1 = a + b 2 b 1 = a b Repita esse procedimento de modo que, em geral, a n + 1 = a n + b n 2 b n + 1 =
Mostre que a sequência definida por a 1 = 2 ,a n + 1 = 1 3 - a n satisfaz 0a n ≤ 2 e é decrescente. Deduza que a sequência é convergente e encontre seu limite.
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n e - n
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n n 2 + 1
Mostre que a sequência definida por a 1 = 1 ,a n + 1 = 3 - 1 a n é crescente e que a n3 para todo n . Deduza que a n é convergente e calcule seu limite.