Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

123. a_n = (4^(n+1) + 3^n) / (4^n)

Passo 1

Fala, pessoal! Bora lá para mais uma questão?

Para descobrir se a sequência converge, temos que testar se ela é limitada e monotônica. Se ela for limitada inferiormente e superiormente, então ela é limitada. Se ela for crescente ou decrescente, então é monotônica. Então, temos que fazer esses dois testes. Antes de começar, vamos simplificar a expressão da sequência

a n = 4 n   +   1   +   3 n 4 n = 4 + 3 4 n

Passo 2

Agora podemos testar se a sequência é limitada. Acompanha aqui o raciocínio:

0 < 3 4 < 1

Como toda potência de algum número menor que 1 é também menor que 1 , temos

0 < 3 4 n < 1

Somando 4 na desigualdade, ficamos com

4 < 4 + 3 4 n < 5

4 < a n < 5

A sequência é limitada “por cima” e “por baixo”. Então, ela é limitada.

Passo 3

Falta testar a monotonicidade. Para isso, vamos escrever

a n = 4 + 3 4 n

e

a n + 1   = 4 + 3 4 n   +   1   =   4 + 3 4 3 4 n  

Agora, tomamos a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n =   4 + 3 4 3 4 n - 4 + 3 4 n   = 3 4 3 4 n - 3 4 n  

⇒ a n + 1 - a n =   3 4 - 1 3 4 n  

⇒ a n + 1 - a n =   - 1 4 3 4 n   < 0

Então, temos que

a n + 1 - a n < 0  

⇒ a n + 1 <   a n  

Assim, podemos concluir que a sequência é decrescente. Logo, é monotônica. Como ela também é limitada, então converge.

Resposta

Converge.

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