Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 113
Teoria e exemplos: Nos Exercícios 111-114, determine se a sequência é monotônica e se é limitada.
113.
Passo 1
Fala, galerinha. Bora pra mais uma questão? Nós temos que mostrar que a sequência é crescente ou decrescente e que ela é limitada inferiormente e superiormente. Vamos lá!
Antes de mais nada, vamos reescrever a sequência de um modo mais conveniente
Vamos buscar o limite inferior. Temos
Por sua vez, , de modo que a sequência é limitada inferiormente
Passo 2
Tranquilo até agora? Beleza, então vamos procurar o limitante superior. Temos
Então, a partir de , a sequência começa a decrescer. Vamos provar isso no próximo passo. Já que o maior valor que a sequência assume é , esse vai ser o limitante superior dela.
Passo 3
Agora, vamos ver se a sequência é monotônica. Para isso, calculamos o termo :
Calculando a diferença com , obtemos
Temos que analisar o sinal de . Mas, para . Para e, para . Ou seja, o sinal de muda conforme o valor de e não é possível concluir que a sequência é sempre crescente ou decrescente. Então, ela não é monotônica.
Resposta
Não monotônica e limitada.