Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 121

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo beleza?

Nessa questão, precisamos testar se a sequência é limitada e monotônica. Se sim, então ela converge. Para ser limitada, a sequência precisa ser limitada inferior e superiormente. Para ser monotônica, basta ser crescente ou decrescente.

Antes de mais nada, vamos reescrever a sequência:

Passo 2

Agora vamos testar se ela é limitada. Para isso, temos que notar

Somando em ambos os lados, ficamos com

Ou seja, a sequência é limitada.

Passo 3

Falta testar a monotonicidade. Seguindo o mesmo raciocínio das questões anteriores, temos que

O próximo passo é tomar a diferença entre e :

Como , então . Logo,

Assim, podemos concluir que a sequência é decrescente. Logo, a sequência é monotônica. Como ela também é limitada, então converge.

Resposta

Converge.

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