Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

a_n = 1 + raiz(2n) / raiz(n)

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo beleza?

Nessa questão, precisamos testar se a sequência é limitada e monotônica. Se sim, então ela converge. Para ser limitada, a sequência precisa ser limitada inferior e superiormente. Para ser monotônica, basta ser crescente ou decrescente.

Antes de mais nada, vamos reescrever a sequência:

a n =   1   +   2 n n = 1   n + 2

Passo 2

Agora vamos testar se ela é limitada. Para isso, temos que notar

0 < 1   n < 1

Somando 2 em ambos os lados, ficamos com

2 < 1   n + 2 < 1 + 2

2 < a n < 1 + 2

Ou seja, a sequência é limitada.

Passo 3

Falta testar a monotonicidade. Seguindo o mesmo raciocínio das questões anteriores, temos que

a n = 1   n + 2

e

a n + 1   = 1   n   +   1 + 2  

O próximo passo é tomar a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n = 1   n   +   1 + 2   - 1   n + 2   = n   -   n + 1   n ( n   +   1 )  

Como n + 1   > n   , então   n   -   n + 1   <   0 . Logo,

a n + 1 - a n < 0  

⇒ a n + 1 <   a n  

Assim, podemos concluir que a sequência é decrescente. Logo, a sequência é monotônica. Como ela também é limitada, então converge.

Resposta

Converge.

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