Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 41
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.
41.
Passo 1
E aí, gente! Tudo tranquilinho?
Aqui precisamos entender se nossa série é convergente ou divergente. Para encontrarmos a convergência da sequência, precisamos aplicar o limite sobre ela com :
Se esse limite tender para um número qualquer, a sequência converge, porque isso significa que ela se aproxima desse valor. Se não ela será divergente e cresce sem se aproximar de um valor específico.
Em alguns momentos, para simplificar nosso processo de cálculo do limite, vamos usar a Regra de L’Hopital:
Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:
Vamos precisar aplicar a regra de L´Hospital para eliminarmos indeterminações. Ah, é importante lembrar que só podemos aplicar a Regra de L’Hopital quando temos dois tipos de indeterminação: . É bom termos isso sempre em mente para não usarmos com outros tipos de indeterminação, belê?
Vamos lá!
Passo 2
Vamos reescrever a sequência da seguinte maneira:
Como temos uma indeterminação do tipo , aplicamos a regra de L’Hôpital e fazemos as derivadas das sequências do numerador e do denominador. O limite do resultado é igual ao limite anterior:
Mas ainda assim a indeterminação continua, então a gente aplica L’Hôpital mais uma vez:
Passo 3
Pronto! Agora ao aplicarmos o limite, a razão tenderá para zero e então:
E a sequência converge para zero.