Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

41.

a_n = { n^2 * e^(-n) }

Passo 1

E aí, gente! Tudo tranquilinho?

Aqui precisamos entender se nossa série é convergente ou divergente. Para encontrarmos a convergência da sequência, precisamos aplicar o limite sobre ela com n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞ n 2 e - n

Se esse limite tender para um número L qualquer, a sequência converge, porque isso significa que ela se aproxima desse valor. Se não ela será divergente e cresce sem se aproximar de um valor específico.

Em alguns momentos, para simplificar nosso processo de cálculo do limite, vamos usar a Regra de L’Hopital:

Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x ' g x '

Vamos precisar aplicar a regra de L´Hospital para eliminarmos indeterminações. Ah, é importante lembrar que só podemos aplicar a Regra de L’Hopital quando temos dois tipos de indeterminação: 0 0   e ∞ ∞ . É bom termos isso sempre em mente para não usarmos com outros tipos de indeterminação, belê?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos reescrever a sequência da seguinte maneira:

L = l i m n → ∞ n 2 e n

Como temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , aplicamos a regra de L’Hôpital e fazemos as derivadas das sequências do numerador e do denominador. O limite do resultado é igual ao limite anterior:

L = l i m n → ∞ n 2 e n = l i m n → ∞ 2 n e n

Mas ainda assim a indeterminação continua, então a gente aplica L’Hôpital mais uma vez:

L = l i m n → ∞ 2 n e n = l i m n → ∞ 2 e n

Passo 3

Pronto! Agora ao aplicarmos o limite, a razão 2 e n tenderá para zero e então:

l i m n → ∞ 2 e n = 0

E a sequência converge para zero.

Resposta

L = 0

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