Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

34. a_n = e^(2n / (n + 2))

Passo 1

Vamos aplicar o limite na sequência para vermos se ela converge:

L = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2

Se L for um número, ela converge, mas se o limite tender para infinito, a sequencia diverge.

Passo 2

Pela continuidade da função exponencial, podemos escrever assim:

L = e l i m n → ∞ 2 n n + 2

E então resolvemos o expoente:

l i m n → ∞ 2 n n + 2

Colocamos em evidenciar o maior grau de n no denominador (que é n mesmo):

l i m n → ∞ 2 n n 1 + 2 n

E simplificamos:

l i m n → ∞ 2 1 + 2 n

Quando n tende a infinito, o termo 2 / n tende para zero e sobra:

2 1 = 2

Passo 3

Substituindo no expoente da função de antes:

L = e 2

E podemos ver que a sequência converge.

Resposta

L = e 2

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