Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a_n = raiz(2^(1 + 3n) / n)

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Galerinha, conforme os termos de uma sequência convergente vão crescendo, esses termos vão se aproximando de um valor fixo e dizemos que essa sequência converge para esse valor e tem um limite:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Se o limite do termo geral existe e é finito, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.

Bora aplicar isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n

Bora!

Passo 2

Vamos resolver esse limite??

L = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n

Uma radiciação pode ser transformada num expoente. Assim, temos:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n 1 n

Agora a gente multiplica o expoente “de fora” dos parênteses pelo “de dentro”:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n

Note que podemos reescrever a fração do expoente como uma soma de frações de mesmo denominador:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 1 n + 3 n n

Simplificando nosso expoente, ficamos finalmente com:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 1 n + 3

Passo 3

Vamos agora aplicar o limite e ver o que encontramos. Conforme n cresce muito ( n → ∞ ) , nossa fração 1 n diminui tanto que tende a zero, então teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n + 3 = 2 0 + 3 = 8

Já que:

2 3 = 8

Resposta

A série converge para 8 .

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