Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 44
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo certo?
Galerinha, conforme os termos de uma sequência convergente vão crescendo, esses termos vão se aproximando de um valor fixo e dizemos que essa sequência converge para esse valor e tem um limite:
Se o limite do termo geral existe e é finito, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.
Bora aplicar isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada:
Bora!
Passo 2
Vamos resolver esse limite??
Uma radiciação pode ser transformada num expoente. Assim, temos:
Agora a gente multiplica o expoente “de fora” dos parênteses pelo “de dentro”:
Note que podemos reescrever a fração do expoente como uma soma de frações de mesmo denominador:
Simplificando nosso expoente, ficamos finalmente com:
Passo 3
Vamos agora aplicar o limite e ver o que encontramos. Conforme cresce muito , nossa fração diminui tanto que tende a zero, então teremos:
Já que:
Resposta
A série converge para .