Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 28
Use coordenadas esféricas.
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio e seu centro.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo joia?
A questão pede que a gente use coordenadas esféricas para achar a distância média de um ponto dentro de uma esfera de raio até seu ponto.
Sabemos que a distância entre dois pontos a origem é dada pela fórmula:
Então vamos partir dessa equação para descrevermos a distância na esfera em coordenadas cilíndricas. A distância média será dada pelo valor da integral com relação a distância dividido pelo volume da esfera, que é dado por:
Então, vamos precisar calcular nosso volume e escrever nossa função em coordenadas esféricas, bem como os limites de integração para calcularmos nossa integral da distância média:
Lembrando que de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas temos:
E:
Também usamos a equação:
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar escrevendo nossa função distância em coordenadas cilíndricas:
Como:
Escrevemos:
Para os limites de integração da nossa integral, como estamos falando de uma esfera de raio , temos as seguintes variações:
Para a esfera inteira, temos:
Como:
E:
Nossa integral:
Fica da seguinte forma em coordenadas cilíndricas:
Juntando as potências de mesma base:
Passo 3
Agora é só finalizarmos calculando o valor da nossa integral tripla. Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Aplicando os limites de integração de cada variável:
Realizando as operações de subtração:
Sendo assim, temos que: