19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique o por quê.

21.

Então pessoal, inicialmente devemos descobrir quando vale os 10 primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos por . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Agora que descobrimos os 10 primeiros termos da sequência, vamos colocar esses pontos em um gráfico. Se fizermos isso, teremos:

O último ponto pedido é para verificarmos se a sequência tem um limite.

Se observarmos o gráfico com atenção, notaremos que a sequência aparenta se aproximar de , não é mesmo? Então sim, a sequência aparenta ter um limite!

Sendo assim, devemos calcular o limite dessa sequência para comprovarmos a observação!

Como a expressão é uma soma, podemos separar os limites, utilizando a propriedade da soma dos limites:

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Então, o limite de é

Mas quanto ao segundo limite, qual é seu resultado?

Quando temos uma expressão como , onde está indo para o infinito, é útil observar o comportamento da sequência para diferentes valores de e entender como ela se aproxima de um valor final. Bora fazer isso então?

Quando é um número par, é positivo, pois um número negativo elevado a uma potência par resulta em um número positivo, concorda? Por exemplo:

Para

Para :

Por outro lado, quando é ímpar, é negativo, pois um número negativo elevado a uma potência ímpar resulta em um número negativo. Por exemplo:

Para :

Para :

Agora, conforme aumenta para o infinito, podemos ver que a sequência oscila entre valores positivos e negativos. No entanto, à medida que cresce, a magnitude dos valores diminui, aproximando-se de .

Portanto,

Sendo assim, teremos:

Sendo assim, fica provado que, de fato, a sequência apresenta uma assíntota em .