Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 24
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.
24.
Passo 1
Beleza, galera? O problema nos deu essa sequência aqui
E precisamos decidir se ela converge ou diverge, mas como fazer isso? Dizemos que uma sequência converge quando seu limite para tende a um número finito
Sendo assim, a ideia é calcularmos o limite da nossa sequência e verificar se encontramos um número. Se sim, então a sequência é convergente, se não, divergente.
Mas relaxa, vou fazer contigo!
Passo 2
Bom, vamos aplicar o limite com n tendendo para infinito nessa sequência:
Nosso instinto é substituir por infinito e avaliar o comportamento. Fazendo isso vamos encontrar uma indeterminação do tipo ,
E agora, como sair dessa indeterminação?
Passo 3
Em se tratando de uma razão de polinômios a técnica é colocar em evidência o termo com maior expoente. Assim todo termo do tipo vai a zero quando .
Vamos então colocar o em evidência no denominador e no numerador:
Simplificando a gente fica com:
Passo 4
Ao aplicarmos o limite, os termos que possuem e no denominador, irão tender para zero, já que n tende para infinito, o problema é que o termo de baixo:
Irá todo tender para zero, o que significa que o limite tende para infinito e a sequência diverge.