Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

24. a_n = (3 + 5 * n^2) / (1 + n)

Passo 1

Beleza, galera? O problema nos deu essa sequência aqui

a n = 3 + 5 n 2 1 + n

E precisamos decidir se ela converge ou diverge, mas como fazer isso? Dizemos que uma sequência converge quando seu limite para n → ∞ tende a um número finito

Sendo assim, a ideia é calcularmos o limite da nossa sequência e verificar se encontramos um número. Se sim, então a sequência é convergente, se não, divergente.

Mas relaxa, vou fazer contigo!

Passo 2

Bom, vamos aplicar o limite com n tendendo para infinito nessa sequência:

L = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 3 + 5 n 2 1 + n

Nosso instinto é substituir n por infinito e avaliar o comportamento. Fazendo isso vamos encontrar uma indeterminação do tipo ∞ ∞ ,

3 + 5 . ∞ 2 1 + ∞ = ∞ ∞

E agora, como sair dessa indeterminação?

Passo 3

Em se tratando de uma razão de polinômios a técnica é colocar em evidência o termo com maior expoente. Assim todo termo do tipo 1 n b vai a zero quando n → ∞ .

Vamos então colocar o n 2 em evidência no denominador e no numerador:

L = l i m n → ∞ n 2 3 n 2 + 5 n 2 1 n 2 + 1 n

Simplificando a gente fica com:

L = l i m n → ∞ 3 n 2 + 5 1 n 2 + 1 n

Passo 4

Ao aplicarmos o limite, os termos que possuem n e n 2 no denominador, irão tender para zero, já que n tende para infinito, o problema é que o termo de baixo: 1 n 2 + 1 n

Irá todo tender para zero, o que significa que o limite tende para infinito e a sequência diverge.

L = l i m n → ∞ 3 n 2 + 5 1 n 2 + 1 n = 5 0 = ∞

Resposta

d i v e r g e

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