Calcule.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n t k   onde 0 < t < 1

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar uma função para o somatório:

s n = ∑ k = 0 n t k = t 0 + t 1 + t 2 + t 3 + … + t n

Vamos multiplicar ambos os lados por t :

t ∙ s n = t + t 2 + t 3 + … + t n + 1

Se subtrairmos t ∙ s n - s n :

t ∙ s n - s n = t + t 2 + t 3 + … + t n + 1 - t 0 + t 1 + t 2 + … + t n

s n t - 1 = - 1 + t n + 1

s n = - 1 + t n + 1 - 1 + t

Passo 2

Substituindo no limite:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n t k   = lim n → + ∞ ⁡ s n = lim n → + ∞ ⁡ - 1 + t n + 1 - 1 + t

Separando em dois limites distintos:

lim n → + ∞ ⁡ - 1 + t n + 1 - 1 + t = lim n → + ∞ ⁡ - 1 - 1 + t + lim n → + ∞ ⁡ t n + 1 - 1 + t

lim n → + ∞ ⁡ - 1 + t n + 1 - 1 + t = 1 t - 1 + lim n → + ∞ ⁡ t n + 1 - 1 + t

Passo 3

Como 0 < t < 1 :

0,1 2 = 0,01 → 0,1 3 = 0,001 → 0,1 4 = 0,0001 → … → 0,1 ∞ = 0

Assim vemos que um número entre 0 e 1 quando elevado ao infinito tende a zero.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n t k = 1 t - 1 + lim n → + ∞ ⁡ t n + 1 - 1 + t

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n t k = 1 t - 1 + lim n → + ∞ ⁡ - t n + 1 1 - t

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n t k = 1 t - 1 + - t ∞ + 1 1 - t = 1 t - 1

Prontinho!!!

Resposta

1 t - 1

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