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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1i

Calcule.

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n t^k onde 0 < t < 1

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar uma função para o somatório:

s_n = sum_(k = 0)^n t^k = t^0 + t^1 + t^2 + t^3 + ... + t^n

Vamos multiplicar ambos os lados por t :

t * s_n = t + t^2 + t^3 + ... + t^(n + 1)

Se subtrairmos t * s_n - s_n :

t * s_n - s_n = (t + t^2 + t^3 + ... + t^(n + 1)) - (t^0 + t^1 + t^2 + ... + t^n)

s_n (t - 1) = - 1 + t^(n + 1)

s_n = (- 1 + t^(n + 1))/(- 1 + t)

Passo 2

Substituindo no limite:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n t^k = underset(n -> + oo)(lim) s_n = underset(n -> + oo)(lim) (- 1 + t^(n + 1))/(- 1 + t)

Separando em dois limites distintos:

underset(n -> + oo)(lim) (- 1 + t^(n + 1))/(- 1 + t) = underset(n -> + oo)(lim) (- 1)/(- 1 + t) + underset(n -> + oo)(lim) (t^(n + 1))/(- 1 + t)

underset(n -> + oo)(lim) (- 1 + t^(n + 1))/(- 1 + t) = (1)/(t - 1) + underset(n -> + oo)(lim) (t^(n + 1))/(- 1 + t)

Passo 3

Como 0 < t < 1 :

0,1^2 = 0,01 -> 0,1^3 = 0,001 -> 0,1^4 = 0,0001 -> ... -> 0,1^(oo) = 0

Assim vemos que um número entre 0 e 1 quando elevado ao infinito tende a zero.

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n t^k = (1)/(t - 1) + underset(n -> + oo)(lim) (t^(n + 1))/(- 1 + t)

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n t^k = (1)/(t - 1) + underset(n -> + oo)(lim) (- t^(n + 1))/(1 - t)

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n t^k = (1)/(t - 1) + (- t^(oo + 1))/(1 - t) = (1)/(t - 1)

Prontinho!!!

Resposta

(1)/(t - 1)

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