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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 4

Seja f x = x , x ∈ 0,1 . Considere a sequência de termo geral

S n = f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + f 3 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n   .

a) Calcule S 3 . Observe que, geometricamente, S 3 pode se interpretado como a soma das áreas dos retângulos hachurados.

b) Calcule lim n → + ∞ ⁡ S n (Pensando geometricamente, qual o valor esperado para o limite?)

Passo 1

a) Temos que S 3 é dado por:

S 3 = f 1 3 1 3 + f 2 3 1 3 + f 3 3 1 3

S 3 = 1 3 ∙ 1 3 + 2 3 ∙ 1 3 + 3 3 ∙ 1 3 = 1 + 2 + 3 9 = 6 9 = 2 3

S 3 = 2 3

Passo 2

b) Podemos ver que n corresponde também, ao número retângulos, os quais a sua extremidade superior direita se alinha à função, fazendo com que a altura dos retângulos seja o valor da função. E S n nos dá a soma dessas áreas.

Quando o número de retângulos converge para o infinito, os retângulos estarão todos alinhados com a região abaixo da curva de f , ou seja, a soma das áreas dos retângulos converge para a área do triângulo delimitado pela figura.

Como a área do triângulo é:

1 × 1 2 = 1 2

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ S n = 1 2

Resposta

a) S 3 = 2 3

b)

lim n → + ∞ ⁡ S n = 1 2

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. a n = cos 2 ⁡ n 2 n
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