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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 3

Calcule

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n))

(Sugestão: (1)/(2^k) + (1)/(2^k + 1) + ... + (1)/(2^(k + 1) - 1) > (1)/(2) para k >= 0 .

Passo 1

Temos que:

1 > (1)/(2)

(1)/(2) + (1)/(3) > (1)/(4) + (1)/(4) = (1)/(2)

(1)/(4) + (1)/(5) + (1)/(6) + (1)/(7) > (4)/(8) = (1)/(2)

E por sequência:

(1)/(2^k) + (1)/(2^k + 1) + ... + (1)/(2^(k + 1) - 1) > (2^k)/(2^(k + 1)) = (1)/(2)

Passo 2

Somarmos todas as inequações, tomando (1)/(2^(k + 1) - 1) = (1)/(n) teremos a soma de n termos de um lado e k vezes (1)/(2) no outro lado, ou seja:

1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n) > k xx (1)/(2)

Assim, se tomarmos (1)/(2^(k + 1) - 1) = (1)/(n) :

Para n tendendo ao infinito, seu inverso tende a zero, então (1)/(2^(k + 1) - 1) deve tender a zero e para isso, 2^(k + 1) - 1 deve tender ao infinito. Isso só acontece se k tender ao infinito, logo:

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n)) > underset(k -> + oo)(lim) k xx (1)/(2)

Como underset(k -> + oo)(lim) k xx (1)/(2) = + oo

Para a soma ser maior que o infinito, só se essa soma também convergir para o infinito.

Logo:

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n)) = + oo

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n)) = + oo

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