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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 7

Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x com aceleração constante a , a > 0 . Suponha que no instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t é, então, dada por v t = a t .

Divida o intervalor de tempo 0 , T em n intervalos de amplitudes iguais a T n :

No instante T n a velocidade será a T n , no instante 2 T n , será 2 a T n etc. Supondo n suficientemente grande, o espaço percorrido entre os instantes T n e 2 T n será aproximadamente a T n ∙ T n (por quê?); entre os instantes 2 T n e 2 T n o espaço percorrido será aproximadamente 2 a T n ∙ T n etc.

a) Calcule lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n

b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima.

Passo 1

a) Podemos escrever a soma como:

a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = a T 2 n 2 1 + 2 + 3 + … + n - 1 = a T 2 2 1 - 1 n

Assim:

lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = lim n → + ∞ ⁡ a T 2 2 1 - 1 n = a T 2 2 1 - 0

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = a T 2 2

Passo 2

b) Cinematicamente, o limite que calculamos no item (a) nos dá justamente o espaço percorrido pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T .

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ a T n ∙ T n + 2 a T n ∙ T n + … + n - 1 a T n ∙ T n = a T 2 2

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