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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 6

Seja f x = x 2 , x ∈ 0,1 . Considere as sequências

s n = f 0 1 n + f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n

E

S n = f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n   .

Calcule

a) lim n → + ∞ ⁡ S n

b) lim n → + ∞ ⁡ s n

(Interprete geometricamente tais limites.) (Sugestão: Utilize o Exercício 5.)

Passo 1

a) Temos que:

f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n = 1 n 2 ∙ 1 n + … + n n 2 ∙ 1 n

= 1 n 3 ∙ 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2

Como 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = 1 6 n n + 1 2 n + 1

Então:

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∙ 1 6 n n + 1 2 n + 1

Temos também que:

1 n 3 ∙ 1 6 n n + 1 2 n + 1 = n + 1 2 n + 1 6 n 2 = 2 n 2 + n + 2 n + 1 6 n 2 = 2 n 2 + 3 n + 1 6 n 2

Pondo o n 2 em evidência:

2 n 2 + 3 n + 1 6 n 2 = n 2 n 2 ∙ 2 + 3 n + 1 n 2 6 = 2 + 3 n + 1 n 2 6

Assim:

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ 2 + 3 n + 1 n 2 6 = 2 + 0 + 0 6 = 2 6 = 1 3

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ S n = 1 3

Passo 2

b) Sabemos que a diferença das duas sequências é somente o termo f 0 1 n , ou seja:

s n = S n + f 0 1 n

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ s n = lim n → + ∞ ⁡ S n + f 0 1 n = 1 3 + 0 = 1 3

lim n → + ∞ ⁡ s n = 1 3

Resposta

a) lim n → + ∞ ⁡ S n = 1 3

b)

lim n → + ∞ ⁡ s n = 1 3

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