Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 33
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.
33.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Temos aqui uma sequência
E precisamos decidir se essa sequência converge ou diverge. E agora? A ideia é calcular o limite do termo geral! se esse termo geral convergir para algum número quando , então dizemos que a sequência é convergente
Se o limite for infinito, dizemos que ela diverge. Beleza? Então bora resolver esse limite!
Passo 2
Vamos aplicar o limite sobre a sequência dada:
Caso esse limite resulte num número , a gente diz que essa sequência é convergente, caso esse limite tenda para infinito, a sequência diverge.
Substituindo por temos
Uma indeterminação! Então precisamos manipular essa expressão para achar o limite! Lembrando que o operador limite é linear e então ele pode passar para dento de outras funções, tipo raiz e etc... fica a dica!
Bora manipular?
Passo 3
Mas para podermos descobrir se converge ou não, precisamos resolver o limite!
Vamos colocar o termo que possui maior grau de em evidência no denominador:
E agora o truque sujo! Colocar esse limite para dentro da raiz! Mas pra isso precisamos que essa raiz esteja no numerador também! Então lembrando que podemos fazer isso!
Colocamos o numerador dentro da raiz:
Simplificamos todos os :
Tranquilo?
Passo 4
Ao colocarmos o limite para dentro da raiz, veremos que o denominador ficará igual a 1:
Mas o numerador tenderá para infinito, então:
E podemos dizer que a sequência diverge.