Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a_n = ln(n + 1) - ln(n)

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ]

Passo 2

Vamos resolver esse limite agora!

L = lim n → ∞ ⁡ [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ]

Aqui vamos usar a regra da diferenciação de logaritmos. Podemos escrever ln ⁡ a b como ln ⁡ a - ln ⁡ b e vice-versa. Assim,

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 n

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n + 1 n

  L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n

Aplicando o limite, temos:

L = ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 1 = 0

Resposta

A série converge para zero!

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