Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = (co*s^2 n) / (2^n)

Passo 1

E aê, galera! Beleza? Bom, vamos lá! Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.

Mas, calma! Vamos dedicar esse nosso primeiro passo ao entendimento de que caminho vamos seguir para chegar na solução.

Nossa sequência tem um termo c o s 2 n e nós sabemos que a função cosseno é limitada, ou seja, só vai assumir valores entre 1 e -1, para qualquer valor de n . Mas veja que no nosso caso a função cosseno está elevada ao quadrado, portanto não teremos valores negativos. Então:

0 ≤ c o s 2 n ≤ 1

Quando temos funções limitadas como essa, o Teorema do Confronto é um conceito que podemos aplicar para resolver o limite.

Passo 2

Esse passo aqui vai ser dedicado para a gente relembrar do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):

O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.

Basicamente:

se f x ≤ g x ≤ h ( x ) e lim x → p ⁡ f x = lim x → p ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ g x = L

Passo 3

Aqui nós vamos destrinchar melhor as escolhas das funções maior e menor ao aplicar o Teorema do Confronto na nossa sequência:

Como já vimos, a função c o s 2 n já é limitada e seus valores máximos e mínimos já nos darão as funções maiores e menores:

0 ≤ c o s 2 n ≤ 1

Porém, nossa expressão é a n = c o s 2 n 2 n , então podemos dividir toda a equação por 2 n , dessa forma:

0 2 n ≤ c o s 2 n 2 n ≤ 1 2 n = 0 ≤ c o s 2 n 2 n ≤ 1 2 n

Pronto, agora que já conseguimos achar as duas funções que limitam nossa sequência, podemos aplicar o Teorema do Confronto e assim resolver o limite.

Passo 4

Aplicando o limite nas 3 funções, temos:

l i m n → ∞ 0 ≤ l i m n → ∞ c o s 2 n 2 n ≤ l i m n → ∞ 1 2 n

Analisando, vemos que o limite de uma constante é a própria constante. Já 1 2 n vai para 0 com n → ∞ . Sendo assim:

0 ≤ l i m n → ∞ c o s 2 n 2 n ≤ 0

Podemos concluir pelo Teorema do Confronto que:

l i m n → ∞ c o s 2 n 2 n = 0

Portanto, a sequência converge para 0 , beleza?

Resposta

Sequência convergente, pois o limite da sequência existe. l i m n → ∞   a n = 0

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