Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 43
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, galera! Beleza? Bom, vamos lá! Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.
Mas, calma! Vamos dedicar esse nosso primeiro passo ao entendimento de que caminho vamos seguir para chegar na solução.
Nossa sequência tem um termo e nós sabemos que a função cosseno é limitada, ou seja, só vai assumir valores entre 1 e -1, para qualquer valor de . Mas veja que no nosso caso a função cosseno está elevada ao quadrado, portanto não teremos valores negativos. Então:
Quando temos funções limitadas como essa, o Teorema do Confronto é um conceito que podemos aplicar para resolver o limite.
Passo 2
Esse passo aqui vai ser dedicado para a gente relembrar do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):
O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.
Basicamente:
se e , então
Passo 3
Aqui nós vamos destrinchar melhor as escolhas das funções maior e menor ao aplicar o Teorema do Confronto na nossa sequência:
Como já vimos, a função já é limitada e seus valores máximos e mínimos já nos darão as funções maiores e menores:
Porém, nossa expressão é , então podemos dividir toda a equação por , dessa forma:
Pronto, agora que já conseguimos achar as duas funções que limitam nossa sequência, podemos aplicar o Teorema do Confronto e assim resolver o limite.
Passo 4
Aplicando o limite nas 3 funções, temos:
Analisando, vemos que o limite de uma constante é a própria constante. Já vai para com . Sendo assim:
Podemos concluir pelo Teorema do Confronto que:
Portanto, a sequência converge para , beleza?
Resposta
Sequência convergente, pois o limite da sequência existe.