Sabe-se que a sequência 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , é convergente. Calcule seu limite.

Passo 1

Nesse caso, temos uma relação de cada termo com o seu consecutivo, pois temos que:

a 2 = 2 + 2 = 2 + a 1

a 3 = 2 + 2 + 2 = 2 + a 2

E de modo geral:

a n + 1 = 2 + a n

Se a sequência converge para um valor, devemos achar esse valor.

Passo 2

Vamos tomar lim n → + ∞ ⁡ a n = a e devemos achar a .

Se lim n → + ∞ ⁡ a n = a , podemos tomar lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 = a

Então:

lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → + ∞ ⁡ 2 + a n

a = 2 + a

a 2 = 2 + a

a 2 - a - 2 = 0

a = 1 ± 1 - 4 - 2 2 = 1 ± 3 2

a = 2 ou a = - 1

Como temos uma soma de infinitos termos positivos, o valor que essa somava vai convergir deve ser positivo. Logo, a = 2

Resposta

a = 2

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