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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 6

Prove que underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x) não existe.

Passo 1

Podemos aplicar duas substituições para provar que o limite não existe:

Primeiramente vamos usar x = (1)/(pi n) de modo que quando x tende a zero, n deve tender ao infinito, assim:

underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x) = underset(n -> + oo)(lim) sen (1)/(((1)/(pi n))) = underset(n -> + oo)(lim) sen pi n = 0

Passo 2

Em seguida, podemos usar x = (1)/((2 n + 1) (pi)/(2)) :

underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x) = underset(n -> + oo)(lim) sen (1)/(((1)/((2 n + 1) (pi)/(2)))) = underset(n -> + oo)(lim) sen (2 n + 1) (pi)/(2) = 1

Passo 3

Como underset(n -> + oo)(lim) sen pi n != underset(n -> + oo)(lim) sen (2 n + 1) (pi)/(2) , o limite underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x) não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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