Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 52

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

Passo 1

Heyyy! Tudo certo? Aqui seguimos com as questões onde precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo?

Uma das formas de fazermos isso é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente (se aproxima do infinito), a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Belezura?

Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

Passo 2

Antes de resolver o limite, vamos trabalhar a sequência primeiro.

Fazendo a distributiva, temos

Vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado:

Mas por que fizemos isso?

Fizemos isso porque queremos facilitar a nossa vida. Assim, quando multiplicamos um número por seu conjugado, obtemos a diferença de quadrados, o que elimina a raiz quadrada presente na expressão. Sacou? Daí isso é útil porque, muitas vezes, queremos evitar raízes no denominador ao calcular limites.

Arrumando, temos

Que é o mesmo que

E agora?? De novo, queremos facilitar a nossa vida! Então aqui podemos dividir por para analisar o comportamento de uma sequência à medida que tende ao infinito. Costumamos fazer isso porque, ao dividir todos os termos da expressão por, podemos observar o comportamento relativo dos termos em relação ao termo dominante ( no caso de uma sequência) à medida que cresce indefinidamente.

Aqui no nosso caso da sequência

dividir todos os termos por nos permite observar que o termo dominante é , já que os outros termos tendem a zero à medida que tende ao infinito. Assim, dividindo o numerador e o denominador por :