23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

32. a_n = e^(2n / (n + 2))

Passo 1

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Sendo assim, aplicando o limite na sequência em questão, teremos:

lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2

Para resolvermos esse limite, vamos aplica-lo apenas no expoente da função exponencial, tudo bem? Fazendo isso, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 2

Dividindo todos os membros pelo maior grau do denominador, que nesse caso é n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n n n n + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 2 n

Como o limite de uma constante é a própria constante e o limite de um número dividido por algo muito grande se aproxima de 0, então teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 2 n = 2 1 + 0 = 2

Passo 2

Tudo bem, agora que descobrimos o limite do expoente de e , podemos fazer o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2 = e lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 2

E como acabamos de calcular o limite em questão, teremos:

lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2 = e ²

Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.

Resposta

a n = e 2 n n + 2   é   c o n v e r g e n t e

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