Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 32
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
32.
Passo 1
Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Sendo assim, aplicando o limite na sequência em questão, teremos:
Para resolvermos esse limite, vamos aplica-lo apenas no expoente da função exponencial, tudo bem? Fazendo isso, teremos:
Dividindo todos os membros pelo maior grau do denominador, que nesse caso é , teremos:
Como o limite de uma constante é a própria constante e o limite de um número dividido por algo muito grande se aproxima de 0, então teremos:
Passo 2
Tudo bem, agora que descobrimos o limite do expoente de , podemos fazer o seguinte:
E como acabamos de calcular o limite em questão, teremos:
Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.